Halaman
Matematika1294.2 Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-SikuTrigonometri berasal dari bahasa Yunani, trigonon artinya tiga sudut, dan metro artinya mengukur. Ilmuwan Yunani di masa Helenistik, Hipparchus (190 B.C – 120 B.C) diyakini adalah orang yang pertama kali menemukan teori tentang trigonometri dari keingintahuannya akan dunia. Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut. Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh Hippachus(190 B.C. – 120 B.C.)tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.Adapun rumusan sinus, cosinus juga tangen diformulasikan oleh Surya Siddhanta, ilmuwan India yang dipercaya hidup sekitar abad 3 SM. Selebihnya teori tentang Trigonometri disempurnakan oleh ilmuwan-ilmuwan lain di jaman berikutnya. Sumber: https://en.wikipedia.org/wikiPada peradaban kehidupan budaya Dayak, kajian mengenai trigonometri sudah tercermin dari berbagai ikon kehidupan mereka. Misalnya, para arsitekturnya sudah menerapkan kese-timbangan bangunan pada rumah adat yang mereka ciptakan. Rumah adat tersebut berdiri kokoh sebagai hasil hubungan yang tepat antara besar sudut yang dikaitkan dengan panjang sisi-sisinya. Apakah para Arsitektur tersebut mempelajari trigonometri juga?Sumber: http://www.jualsewarumah.comGambar 4.6 Rumah adat suku Dayak
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK130Pada subbab ini, akan dipahami konsep perbandingan trigonometri pada suatu segitiga siku-siku. Coba kamu pahami deskripsi berikut.Masalah 4.1Pak Yahya adalah seorang penjaga sekolah. Tinggi pak Yahya adalah 1,6 m. Dia mempunyai seorang anak, namanya Dani. Dani masih kelas II Sekolah Dasar. Tinggi badannya 1,2 m. Dani adalah anak yang baik dan suka bertanya. Dia pernah bertanya kepada ayahnya tentang tinggi tiang bendera di lapangan itu. Dengan senyum, Ayahnya menjawab 8 m. Suatu sore, disaat dia menemani ayahnya membersihkan rumput liar di lapangan, Dani melihat bayangan setiap benda di tanah. Dia mengambil tali meteran dan mengukur panjang bayangan ayahnya dan panjang bayangan tiang bendera, yaitu 3 m dan 15 m.Tetapi dia tidak dapat mengukur panjang bayangannya sendiri karena bayangannya mengikuti pergerakannya. Jika kamu sebagai Dani, dapatkah kamu mengukur bayangan kamu sendiri?Konsep kesebangunan pada segitiga terdapat pada cerita tersebut. Mari kita gambarkan segitiga sesuai cerita di atas.ABCxoEDGFDimana:AB = tinggi tiang bendera (8 m)BC = panjang bayangan tiang (15 m)DE = tinggi pak Yahya (1,6 m)EC = panjang bayangan pak Yahya (3 m)FG = tinggi Dani (1,2 m)GC = panjang bayangan Dani (4,8 m)Gambar 4.7 Segitiga sebangunBerdasarkan gambar segitiga di atas terdapat tiga segitiga, yaitu ∆ABC, ∆DEC, dan ∆FGC sebagai berikut.
Matematika131ECD1,63,43xo1517BCA8xoxoGCF1,2gfGambar 4.8 KesebangunanKarena ∆ABC, ∆DEC, dan ∆FGC adalah sebangun, maka berlakuFGGCfDEEC1, 2= ==1, 63⇒f = 2,25.Dengan menggunakan Teorema Pythagoras diperoleh nilai dariFC = g = 6, 5025 = 2, 55.Berdasarkan ∆ABC, ∆DEC, dan ∆FGC diperoleh perbandingan sebagai berikut.a. FGDEABFCDCAC1, 21, 68= == ==2, 553, 417 = sisi di depan sudutsisi miring segitiga = 0,47.Perbandingan ini disebut dengan sinus sudut C, ditulis sin x0 = 817.b. GCECBCFCDCAC2, 25315= == ==2, 553, 417 = sisi di samping sudutsisi miring segitiga = 0,88.Perbandingan ini disebut dengan cosinus sudut C, ditulis cos x0 = 1517.c. FGDEABGCECBC1, 21, 68= = = ==2, 25315 = sisi di depan sudutsisi di samping sudut = 0,53.Perbandingan ini disebut dengan tangen sudut C, ditulis tan x0 = 815.Hubungan perbandingan sudut (lancip) dengan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku dinyatakan dalam definisi berikut. 1. SinusC didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut dengan sisi miringsegitiga, ditulis sin C = sisi di depan sudutsisi miring segitigaDefinisi 4.1BAC
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK1322. Cosinus C didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di sampingsudut dengan sisi miring segitiga, cos C = sisi di samping sudutsisi miring segitiga3. TangenC didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut dengan sisi di samping sudut, ditulis tan C = sisi di depan sudutsisi di samping sudut4. Cosecan C didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring segitiga dengan sisi di depan sudut, ditulis csc C = sisi miring segitigasisi di depan sudutatau csc C = C1sin 5. Secan C didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring segitiga dengan sisi di samping sudut, ditulis sec C = sisi miring segitigasisi di samping sudutatau sec C = C1cos 6. Cotangen C didefinisikan sebagai perbandingan sisi di samping sudut dengan sisi di depan sudut, ditulis cotan C = sisi di samping sudut sisi di depan sudutatau cot C = C1tanJika diperhatikan aturan perbandingan di atas, prinsip matematika lain yang perlu diingat kembali adalah Teorema Pythagoras. Selain itu, pengenalan akan sisi miring segitiga, sisi di samping sudut, dan sisi di depan sudut tentunya dapat mudah diperhatikan. Oleh karena yang telah didefinisikan perbandingan sudut untuk sudut lancip C, sekarang giliranmu untuk merumuskan keenam jenis perbandingan sudut lancip A.Contoh 4.3Diberikan segitiga siku-siku ABC, sin A = 13 +putaran3. Tentukan cos A, tan A, sin C, cos C, dan cot C.
Matematika133Alternatif PenyelesaianDiketahui sin A = BCAC1=3, artinya BCAC1=3. Lebih tepatnya, panjang sisi (BC) di depansudut A dan panjang sisi miring (AC) segitiga ABC memiliki perbandingan1 : 3, lihat Gambar 4.9. Untuk menentukan nilai cos A, tan A, sin C, cos C, dan cot C, kita memerlukan panjang sisi AB. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh( ) ( )−⇒−−ABACBCABkkkkkk2 2222222==3 =9=8 = ±2 2Gambar 4.9 Segitiga siku-siku ABCAB3kkCJadi, kita memperoleh panjang sisi AB = ( ) ( )−⇒−−ABACBCABkkkkkk2 2222222==3 =9=8 = ±2 2. (Mengapa bukan –( ) ( )−⇒−−ABACBCABkkkkkk2 2222222==3 =9=8 = ±2 2?)Dengan menggunakan Definisi 4.1, kita peroleh➢ ABkAACk2222cos===33➢ ×BCkAABk12 21tan=====24422222➢ ABkCACk2222sin ===33➢ BCkCACk1cos ===33➢ ×BCkCABk12 21cot =====24422222
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK134Perlu DiingatPanjang sisi miring adalah sisi terpanjang pada suatu segitiga siku-siku. Akibatnya nilai sinus dan cosinus selalu kurang dari 1 (pada kondisi khusus akan bernilai 1).Mari kita cermati kembali contoh berikut ini.Contoh 4.4Pada suatu segitiga siku-siku PQR, dengan siku-siku di Q, tan P = QRPQ4=3. Hitung nilai perbandingan trigonometri yang lain untuk sudut P.Alternatif PenyelesaianGambar 4.10 Segitiga siku-siku PQRQR4k3kPKita ketahui tan P = QRPQ4=3, artinyatan P = QRPQ4=3.Akibatnya, jika QR = 4k dan PQ = 3k, dengan k adalah bilangan positif. PR2 = PQ2 + QR2⇒PR = PR22= PQ + QR = ( ) ( )223 +4kk = 225kPR = 5kSekarang gunakan Definisi 4.1 untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri yang lain, yaitua. 44sin==== 0, 855QRkPPRkb. 33cos==== 0, 655PQkPPRkc. 55csc ==== 1, 2544PRkPRQk
Matematika135d. 55sec==== 1, 6633PRkPPQke. 33cot ==== 0, 7544PQkPQRkSelanjutnya kamu akan mengkaji bagaimana penerapan konsep perban-dingan trigonometri dalam menyelesaikan masalah kontekstual. Mari kita cermati dan pahami masalah berikut.Masalah 4.2Dua orang guru dengan tinggi badan yang sama yaitu 170 cm sedang berdiri memandang puncak tiang bendera di sekolahnya. Guru pertama berdiri tepat 10 m di depan guru kedua. Jika sudut elevasi guru pertama 60odan guru kedua 30o dapatkah kamu menghitung tinggi tiang bendera tersebut?Memahami dan Merencanakan Pemecahan MasalahMisalkan tempat berdiri tegak tiang bendera, dan kedua guru tersebut adalah suatu titik. Ujung puncak tiang bendera dan kepala kedua guru juga diwakili oleh suatu titik, maka dapat diperoleh Gambar 4.12 sebagai berikut.Gambar 4.12 Model masalah tiang benderaCBADGEF1,7 m60o30oDimana:AC = tinggi tiang benderaDG = tinggi guru pertamaEF = tinggi guru keduaDE = jarak kedua guruSumber: Dokumen KemdikbudGambar 4.11 Tiang bendera
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK136Alternatif PenyelesaianBerdasarkan pengalaman kita di awal pembicaraan di atas, maka kita memiliki perbandingan sebagai berikut.tan 60o = ABBG⇔ BG = otan 60ABtan 30o = +ABAB=BF10 BG⇔ AB = (10 + BG) × tan 30o⇔ AB = 010 +tan 60AB× tan 30o⇔ AB× tan 60o = (10 × tan 60o + AB) × tan 30o⇔ AB× tan 60o = 10 × tan 60o × tan 30o + AB× tan 30o⇔ AB× tan 60o – AB× tan 30o = 10 × tan 60o × tan 30o ⇔ AB× (tan 60o – tan 30o)= 10 × tan 60o × tan 30o⇔ AB = ××−oooo10 tan 60 tan 30+1, 7 mtan 60tan 30Jadi, tinggi tiang bendera adalahAC = AB + BC atau AC = ××−oooo10 tan 60 tan 30+1, 7 mtan 60tan 30Untuk menentukan nilai tan 60o dan tan 30o akan dibahas pada subbab selanjutnya. Dengan demikian, tinggi tiang bendera dapat ditemukan.Contoh 4.5Diketahui segitiga siku-siku ABC dan PQR, seperti gambar berikut ini. PQRABCGambar 4.13 Dua segitiga siku-siku yang sebangunJika sin B = sin Q, maka buktikan bahwa ∠B = ∠Q.
Matematika137Alternatif PenyelesaianDari Gambar 4.13, diperolehsin B = ACAB dan sin Q = PRPQAkibatnya, ACPR=ABPQ atau ACAB=PRPQ, dengan k bilangan positif.Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh bahwa() ()( ) ( )( ) ( )−−−−BCABACk PQk PRkPQPRkPQPR222222222==.. =.=.−QRPQPR22=Dengan demikian, −−BCk PQPRkQRPQPR2222==Akibatnya diperolehACABBCkPRPQQR===Karena perbandingan sisi-sisi kedua segitiga sama, maka ∠B = ∠Q.Perhatikan contoh berikut. Temukan pola dalam menentukan setiap pernyataan terkait perbandingan trigonometri.Contoh 4.6Diketahui suatu segitiga siku-siku KLM, ∠L = 90o, dan tan M = 1. Hitung nilai dari (sin M)2 + (cos M)2 dan 2 . sin M . cos M.
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK138Alternatif PenyelesaianGambar 4.14 Segitiga siku-siku KLMKLMUntuk memudahkan kita menyelesaikan masalah ini, coba cermati gambar berikut ini. Diketahui tan M = 1, artinya;tan M = 1 ⇒KLLM = 1 atau KL = LM = k, dengan k bilangan positif. Dengan menggunakan Teorema Pythago-ras, diperolehKM = KMLMLMkkkk22222=+=+ =2 = 2 = KMLMLMkkkk22222=+=+ =2 = 2Akibatnya, sin M = KLkKMk2==22atau (sin M)2 = 2221==242cos M = LMkKMk2==22atau (cos M)2 = 2221==242Jadi, (sin M)2 + (cos M)2 = 2221==242+ 2221==242 = 1 dan 2 . sin M . cos M = 2 ×2221==242×2221==242 = 1